运用公式法

教学设计示例

运用公式法――完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．

4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

　　重点：运用完全平方式分解因式.

　　难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

　　一、复习

　　1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

　答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　   (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　     =(4m2+n2)(4m2－n2)

　　     =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).　　

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　　　　　　　　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

　　二、新课

　　和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

　　　　　　　　　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

　　问：具备什么特征的多项是完全平方式?

　　答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

　　问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

　　(1)x2+6x+9；　　　　　(2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1；　　　(4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

　　　　　　　　　　　　　　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　　　　　　　　　　　　　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

　　请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式为：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

　　解　　25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2　　把1－ m+ 分解因式.

　　问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

　　答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，则

　　　　　　　　　　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　　　　　　　　　　　　　　　=  (42－2·4·m+m2)

　　　　　　　　　　　　　　　　= (4－m)2.