解直角三角形

教学建议

　　1．知识结构：

　　本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

　　2．重点和难点分析：

　　教学重点和难点：直角三角形的解法.

　　本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

　　3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

　　锐角三角函数的定义：

　　实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

　　当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

　　如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

　　画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

　　由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

　　即得BC的长为.

　　又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

　　画出图形，可设

　　也就是

　　这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

　　由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

　　4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

　　5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

　　由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.

　　例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

　　这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.

　　在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

　　解：作于D，在Rt中，有

　　；

　　又，在Rt中，有

　　∴

　　又，

　　∴ 

　　于是，有

　　由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

　　（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

　　（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

　　（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

　　（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

　　6. 要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.

　　很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.

　　我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

　　据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

　　另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

　　设螺纹初始角为，则在Rt中，有

　　∴.

　　即，螺纹的初始角约为 .

　　这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.