定理与证明(二)

　一、教学目标

　　1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

　　2．了解综合法证明的格式和步骤．

　　3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

　　4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

　　5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

　　二、学法引导

　　1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

　　2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

　　三、重点·难点及解决办法

　　（－）重点

　　证明的步骤和格式是本节重点．

　　（二）难点

　　理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

　　（三）解决办法

　　通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

　　四、课时安排

　　l课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、三角板、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

　　2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

　　3．通过提问的形式完成小结．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

　　（二）整体感知

　　以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

　　（三）教学过程

　　创设情境，引出课题

　　师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

　　 例1  已知：如图1， ， 是截线，求证： ．

　　证明：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）．

　　∵ （对项角相等），∴ （等量代换）．

　　这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

　　［板书］2.9  定理与证明

　　探究新知

　　1．命题证明步骤

　　学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

　　【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

　　根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：

　　第一步，画出命题的图形．

　　先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．

　　第二步，结合图形写出已知、求证．

　　把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

　　第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

　　学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

　　【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

　　反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

　　（2）课本第112页A组第5题．

　　【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步．

　　2．命题的证明

　　例2  证明：邻补角的平分线互相垂直．

　　【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

　　（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

　　邻补角用图2表示：

图2

　　添画邻补角的平分线，见图3：

图3

　　（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示： ，角平分线用几何符号语言表示： ， ，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

　　（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

　　 有什么结论后可得 （ ），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

　　【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

　　已知：如图， ， ， ．

　　求证：

　　证明：∵ （已知），又∵ ，

　　∴ （垂直定义）．

　　证明完成后提醒学生注意以下几点：

　　①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

　　②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为 ，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线， ， ，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

　　③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

　　反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

　　【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

　　3．判定一个命题是假命题的方法

　　师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

　　 【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

　　根据学生说明，教师小结：

　　判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图， 与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

　　反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

　　【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

　　反馈练习

　　投影出示以下练习：

　　1．指出下列命题的题设和结论

　　（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

　　（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

　　（3）对项角相等．

　　（4）同角或等角的余角相等．

　　2．画图，写出已知，求证（不证明）

　　（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

　　（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

　　已知：如图， ．

　　求证： ．

　　证明：∵ （　　），

　　　∴ （　　）．

　　　∴ （　　）．

　　【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

　　总结、扩展

　　以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

　　八、布置作业

　　（－）必做题

　　课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

　　（二）思考题

　　课本第112页B组第l、2题．

　　 作业答案

　　A组（略）

　　B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

　　 （两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）．

　　2．已知：如图， ， 、 分别平分 与 ．求证： ．