下学期 4.11 已知三角函数值求角1

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（第一课时）

一．教学目标

　　1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角．

　　2．掌握用反三角表示 中的角．

二．教具

　　直尺、投影仪

三．教学过程

　　1．设置情境

　　由函数 的定义知，对定义域 中的任一元素 ，在值域 中都有一个元素 使 ，我们知道， 存在反函数时，上述值域 中的元素不仅存在，而且惟一，这时可以用 表示 ，记作 。

　　到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三角函数．试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的大小呢？如果能，又怎样表示呢？本节课就来讨论这个问题，

　　2．探索研究

　　请同学回忆一下

　　（1） ， ， ， 的诱导公式．

　　（2）师： ，

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www.qihang56.com ， 分别表示 与 的正弦值相等， 与 的余弦值相等， 与 的正切值相等，能否说它们表示的角也相等？为什么？

　　生：不能，因为在0～ 间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应．

　　师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求得任意角三角函数值，反过来，如果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出 中与之对应的角．这两个过程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解．

　　（板书课题——已知三角函数值求角（一））

　　请同学们看一个例题：

　　【例1】（1）已知 ，且 ，求 ．

　　（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

　　师生共同分析：

　　（1）由正弦函数在闭区间 上是增函数和 ．可知符合条件的角有且只有一个，即

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　　（2）因为 ，所以 是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和 可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角 或第二象限角 ，∴所求的 的集合是 ．

　　下面给出反正弦概念，请看投影：

　　观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件 的角 有且只有一个，我们选择闭区间 作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件 的角 ，叫做实数 的反正弦，记作 ，即 ，其中 ，且 ．

　　

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www.qihang56.com 表示的意义： 表示一个角，角的特点是①角的正弦值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足 的角都可以，只能是 范围内满足 的角；③由于x为角的正弦值，所以x的值在[-1，1]范围内．

　　例如， ， ．那么例1中第（2）小题答案可以写成 ．

　　练习（投影）

　　（1） 是什么意思？

　　（2）若 ， ，则 ．

　　（3）若 ， ， ．

参考答案：

　　（1）表示 上正弦值等于 的那个角，其实应是 ，故记作

　　（2）这个

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　　（3） ，它不是特殊角，故只能这样抽象表示了．

　　下面再来建立反余弦概念．

　　先看下面例题：

　　【例2】（1）已知 ，且 ，求 ；

　　（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

　　师生共同分析：

　　解：（1）由余弦函数在闭区间 上是减函数和 ，可知符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角，利用计算器并由 ，可得 ，所以 ．

　　（2）因为 ，所以 是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性和．

　　可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角 或第三象限角

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www.qihang56.com ，于是所求的 的集合是 ．

　　下面我们来给出反余弦定义，先看投影

　　观察上图，根据余弦函数图像的性质，为了使符合条件 的角 有且只有一个，我们选择闭区间 作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件 的角 ，叫做实数 的反余弦，作 ，即 ，其中 ，且 ．

　　由学生根据反正弦的意义说明反余弦 的意义：

　　 表示的意义： 表示一个角，角的特点是①角的余弦值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足 的角都可以，只能是 范围内满足

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四．板书设计

课题

例1

反正弦概念

例2

反余弦概念

例3

用反三角函数表示角

演练反馈

总结提炼

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